第一型曲面积分

一、第一型曲面积分到底在算什么

第一型曲面积分的标准形式是

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$$

它本质上是“曲面上每一点的函数值 × 曲面微小面积”的累加。

如果 $f=1$，它就是曲面面积：

$${\iint }_{\Sigma }1dS$$

如果 $f$ 表示密度，它就是曲面的质量：

$$M={\iint }_{\Sigma }\mu (x,y,z)dS$$

第一型曲面积分没有方向性，和第二型曲面积分不同，题目中即使说“上侧”“外侧”“下侧”，对第一型曲面积分本身通常没有影响，除非它是为了确定曲面是哪一片。

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二、第一型曲面积分的核心解题框架

我建议统一按照三步思考：

1. 盯住目标

看到题目，先问自己：

我要把 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$ 化成哪一种普通二重积分？

第一型曲面积分的真正目标不是“硬算曲面”，而是把 $dS$ 换成平面区域上的面积元。

最常见目标有四类：

情形一：曲面写成 $z=z(x,y)$

若

$$\Sigma :z=z(x,y),(x,y)\in D$$

则

$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$

所以

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$

这是最常用公式。

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情形二：曲面写成 $x=x(y,z)$

若

$$\Sigma :x=x(y,z),(y,z)\in D_{yz}$$

则

$$dS=\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}dydz$$

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情形三：曲面写成 $y=y(x,z)$

若

$$\Sigma :y=y(x,z),(x,z)\in D_{xz}$$

则

$$dS=\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}dxdz$$

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情形四：参数方程

若

$$\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$

则

$$dS=|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dudv$$

于是

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(\mathbf{r}(u,v))|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dudv$$

球面、圆锥面、旋转面常用参数法。

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三、三项解题法：盯住目标、检索思路、细节处理

下面按照你要求的三项法系统归纳。

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1. 盯住目标：先判断“积分对象”和“曲面类型”

第一型曲面积分题，开局不要急着算。先看三个东西：

目标一：题目到底要求什么？

常见问法有：

求曲面积分

例如：

$${\iint }_{\Sigma }zdS$$

这是直接计算型。

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求曲面面积

例如题目说“求曲面面积”，本质是

$${\iint }_{\Sigma }1dS$$

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求质量

如果题目说“薄片型曲面 $S$ 的密度为 $\mu$”，则

$$M={\iint }_S\mu dS$$

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判断等式或选择题

例如图片中类似：

$${\iint }_{S}xdS=4{\iint }_{S_1}xdS$$

这类题不一定要直接算，而是要盯住曲面的对称性和被积函数的奇偶性。

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目标二：曲面是哪一类？

平面

例如

$$x+y+z=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$$

这是坐标面围成的三角形平面片。可取

$$z=1-x-y$$

然后

$$dS=\sqrt{1+(-1{)}^2+(-1{)}^2}dxdy=\sqrt{3}dxdy$$

区域是

$$D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1\}$$

这类题最稳的做法是投影到 $xOy$ 面。

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球面

例如图片中的早年真题：球面或半球面上的第一型曲面积分。球面常用球坐标或对称性。

若球面为

$$x^2+y^2+z^2=a^2$$

可令

$$x=a\sin \phi \cos \theta ,y=a\sin \phi \sin \theta ,z=a\cos \phi$$

则

$$dS=a^2\sin \phi d\phi d\theta$$

如果是上半球，则

$$0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$$

如果是第一卦限球面，则

$$0\le \phi \le \frac{\pi }{2},0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

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圆锥面

例如图片中有题目：

$$\Sigma :z=\sqrt{x^2+y^2}$$

这是圆锥面。通常用柱坐标更方便：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=r$$

此时

$$\mathbf{r}(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,r)$$

计算得

$$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$$

所以圆锥面上常见结论：

$$z=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow dS=\sqrt{2}dxdy$$

或者在极坐标下：

$$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$$

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椭球面

例如图片中出现：

$$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$$

上半部分。椭球面一般有两种思路：

1. 若能写成 $z=z(x,y)$，直接投影；
2. 若题目考对称性，则优先利用对称性，而不是硬算。

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折面、多面体表面

例如图片中出现：

$$|x|+|y|+|z|=1$$

这是八面体表面，由八个全等三角形组成。处理方法：

1. 分象限；
2. 利用对称性；
3. 在第一卦限中写成平面

$$x+y+z=1$$

再乘以对称倍数，但注意被积函数是否对称。

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2. 检索思路：根据曲面特点选择方法

方法一：直接投影法

这是第一型曲面积分最基本方法。

适用条件

曲面可以自然写成

$$z=z(x,y)$$

或者

$$x=x(y,z),y=y(x,z)$$

解题步骤

以 $z=z(x,y)$ 为例：

1. 写出曲面方程；
2. 求偏导 $z_x,z_y$；
3. 写出

$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$

4. 找投影区域 $D$；
5. 把 $z$ 代入被积函数；
6. 化成二重积分。

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真题示范思路：圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$

图片中有类似题：

$${\iint }_{\Sigma }|z|dS$$

其中 $\Sigma$ 是圆锥面

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

在某柱体内部的部分。

盯住目标

要求

$${\iint }_{\Sigma }|z|dS$$

曲面是圆锥面，上面 $z\ge 0$，所以

$$|z|=z$$

目标是把它变成平面区域上的二重积分。

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检索思路

圆锥面最自然用极坐标。

因为

$$z=\sqrt{x^2+y^2}=r$$

而

$$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$$

所以原积分变成

$${\iint }_{D}r\cdot \sqrt{2}rdrd\theta =\sqrt{2}{\iint }_D{r}^{2}drd\theta$$

真正关键变成：投影区域 $D$ 是什么？

如果题目给柱面

$$x^2+y^2\le 2x$$

则化为极坐标：

$$r^2\le 2r\cos \theta$$

即

$$0\le r\le 2\cos \theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

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细节处理

这类题最容易错两点：

1. 忘记 $dS=\sqrt{2}dxdy$，在极坐标下还要乘 $r$；
2. 柱面区域 $x^2+y^2\le 2x$ 不是圆心在原点的圆，而是圆心 $(1,0)$、半径 $1$ 的圆。

所以脑子里要有一句话：

圆锥面上 $z=r$，面积元多一个 $\sqrt{2}$，投影区域再用极坐标处理。

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方法二：参数法

适用条件

曲面不方便投影，或者是标准旋转曲面、球面、锥面、柱面。

核心公式

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dudv$$

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真题示范思路：球面问题

图片中有球面或半球面题，例如球面

$$x^2+y^2+z^2=a^2$$

的一部分，要求某个第一型曲面积分。

盯住目标

球面上若出现

$${\iint }_{\Sigma }xdS,{\iint }_{\Sigma }ydS,{\iint }_{\Sigma }zdS$$

不要立刻参数化，先看对称性。

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检索思路

完整球面关于 $x,y,z$ 都对称，因此：

$${\iint }_{\text{整球面}}xdS=0$$

$${\iint }_{\text{整球面}}ydS=0$$

$${\iint }_{\text{整球面}}zdS=0$$

上半球关于 $x,y$ 对称，但 $z\ge 0$，所以：

$${\iint }_{\text{上半球}}xdS=0$$

$${\iint }_{\text{上半球}}ydS=0$$

而

$${\iint }_{\text{上半球}}zdS>0$$

如果被积函数是 $x^2,y^2,z^2$，则不能因为奇偶性为零，但可以利用对称性：

在整球面上，

$$\iint x^{2}dS=\iint y^{2}dS=\iint z^{2}dS$$

又因为球面上

$$x^2+y^2+z^2=a^2$$

所以

$$3\iint x^{2}dS=\iint a^{2}dS=a^2\cdot 4\pi a^2$$

从而可以快速得到其中一个。

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细节处理

对于球面题，优先级是：

1. 先看奇偶对称；
2. 再看是否能用 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 合并；
3. 最后才考虑球坐标硬算。

这比直接展开参数积分更快。

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方法三：对称性法

第一型曲面积分极爱考对称性，尤其选择题和填空题。

判断原则

若曲面 $\Sigma$ 关于某个变量对称，而 $dS$ 不改变，则：

• 被积函数关于该变量是奇函数，积分为 $0$；
• 被积函数关于该变量是偶函数，可以倍乘。

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真题示范思路：八面体 $|x|+|y|+|z|=1$

图片中有题：

$$\Sigma :|x|+|y|+|z|=1$$

求类似

$${\iint }_{\Sigma }(x+|y|)dS$$

盯住目标

曲面是关于 $x,y,z$ 均对称的八面体表面。

被积函数中有两部分：

$$x+|y|$$

其中 $x$ 是关于 $x$ 的奇函数，$|y|$ 是偶函数。

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检索思路

因为整个曲面关于 $x=0$ 对称，所以：

$${\iint }_{\Sigma }xdS=0$$

于是只剩：

$${\iint }_{\Sigma }|y|dS$$

再利用对称性：

$${\iint }_{\Sigma }|y|dS=8{\iint }_{{\Sigma }_1}ydS$$

其中 ${\Sigma }_1$ 是第一卦限中的三角形面：

$$x+y+z=1,x,y,z\ge 0$$

在这一片上 $|y|=y$。

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细节处理

第一卦限平面片：

$$z=1-x-y$$

投影区域：

$$D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1\}$$

面积元：

$$dS=\sqrt{1+(-1{)}^2+(-1{)}^2}dxdy=\sqrt{3}dxdy$$

所以问题最终变成：

$$8\sqrt{3}{\iint }_{D}ydxdy$$

这里不需要抄答案，关键思维是：

绝对值函数先分象限，奇函数部分先用对称性消掉，再在第一卦限计算。

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方法四：利用几何意义

第一型曲面积分有时可以直接理解成“面积”“质量”“平均高度”等。

常见几何含义

$${\iint }_{\Sigma }1dS$$

是曲面面积。

$${\iint }_{\Sigma }zdS$$

可以理解为曲面关于 $xOy$ 平面的“高度加权面积”。

$${\iint }_{\Sigma }\rho (x,y,z)dS$$

是密度为 $\rho$ 的薄片质量。

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真题示范思路：密度问题

图片中有题目类似：薄片型 $S$ 是圆锥面的一部分，其上任一点密度为

$$\mu =9\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

求质量。

盯住目标

质量就是

$$M={\iint }_S\mu dS$$

所以核心不是“质量”两个字，而是第一型曲面积分。

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检索思路

如果曲面是圆锥面

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

则设

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=r$$

这时

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r$$

密度变成

$$\mu =9\sqrt{2}r$$

同时

$$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$$

于是

$$\mu dS=18r^{2}drd\theta$$

剩下就是找投影区域。

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细节处理

这类题最容易漏掉两个 $\sqrt{2}$：

1. 密度中的空间距离给出一个 $\sqrt{2}r$；
2. 圆锥面积元又给出一个 $\sqrt{2}r$。

所以不能只写 $\mu =9r$，要注意点在空间曲面上，不是在 $xOy$ 平面上。

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四、不同曲面类型的快速处理模板

1. 显式曲面 $z=f(x,y)$

模板

$${\iint }_{\Sigma }g(x,y,z)dS={\iint }_{D}g(x,y,f(x,y))\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$$

适用题型

• 抛物面 $z=1-x^2-y^2$
• 圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$
• 上半球 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$
• 平面 $z=ax+by+c$

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2. 平面片

若

$$z=ax+by+c$$

则

$$dS=\sqrt{1+a^2+b^2}dxdy$$

如果平面是

$$Ax+By+Cz+D=0$$

且 $C\ne 0$，则

$$z=-\frac{A}{C}x-\frac{B}{C}y-\frac{D}{C}$$

因此

$$dS=\frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{|C|}dxdy$$

类似地：

投影到 $yOz$ 面：

$$dS=\frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{|A|}dydz$$

投影到 $xOz$ 面：

$$dS=\frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}{|B|}dxdz$$

选投影面的原则

哪个变量最容易解出来，哪个投影区域最简单，就投到哪个坐标面。

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3. 球面

球面：

$$x^2+y^2+z^2=a^2$$

球坐标：

$$x=a\sin \phi \cos \theta ,y=a\sin \phi \sin \theta ,z=a\cos \phi$$

面积元：

$$dS=a^2\sin \phi d\phi d\theta$$

常用范围

上半球：

$$0\le \phi \le \frac{\pi }{2},0\le \theta \le 2\pi$$

下半球：

$$\frac{\pi }{2}\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi$$

第一卦限球面：

$$0\le \phi \le \frac{\pi }{2},0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

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4. 圆锥面

圆锥面：

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

可设：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=r$$

面积元：

$$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$$

如果写成投影形式：

$$dS=\sqrt{2}dxdy$$

但若继续用极坐标，则

$$dxdy=rdrd\theta$$

所以

$$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$$

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5. 柱面

例如圆柱面：

$$x^2+y^2=R^2$$

可设：

$$x=R\cos \theta ,y=R\sin \theta ,z=z$$

则

$$dS=Rd\theta dz$$

如果题目中曲面是柱面的一部分，往往参数法更方便。

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五、结合真题归纳典型题型

题型一：直接计算型

典型特征

题目直接给：

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$$

并说明 $\Sigma$ 是某曲面的一部分。

解题思路

1. 看曲面能否写成 $z=z(x,y)$；
2. 找投影区域；
3. 代入 $dS$；
4. 若区域是圆形、扇形、圆环，改用极坐标；
5. 若函数或区域有对称性，先化简。

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题型二：曲面面积型

典型特征

题目问“曲面面积”。

例如图片中有题：

$$z=2+a{x}^2+b{y}^2,z\ge 0$$

求曲面面积。

思路

曲面面积就是

$$S={\iint }_{\Sigma }1dS$$

若

$$z=2+a{x}^2+b{y}^2$$

则

$$dS=\sqrt{1+4a^2{x}^2+4b^2{y}^2}dxdy$$

关键在于先通过题目条件确定 $a,b$，再确定投影区域。

如果题目给方向导数最大值，就先用梯度求 $a,b$，不要一上来算面积。

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题型三：对称性判断型

典型特征

题目选项中出现：

$${\iint }_{S}xdS,{\iint }_{S}ydS,{\iint }_{S}zdS,{\iint }_{S}xyzdS$$

或者曲面具有明显对称性。

思路

先问：

1. 曲面关于哪个坐标面对称？
2. 被积函数关于对应变量是奇函数还是偶函数？

如果 $\Sigma$ 关于 $x=0$ 对称，则：

$${\iint }_{\Sigma }x\cdot h(y,z)dS=0$$

只要 $h(y,z)$ 不破坏关于 $x$ 的偶性。

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题型四：分片曲面型

典型特征

曲面由多个面组成，例如：

$$|x|+|y|+|z|=1$$

或者空间区域的整个边界。

思路

第一型曲面积分没有方向，但曲面可能要分片。

处理原则：

1. 若每片完全对称，取一片乘倍数；
2. 若被积函数含 $x,y,z$ 或绝对值，要先判断每片函数形式是否相同；
3. 若有奇函数项，先用整体对称性消掉。

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题型五：质量与重心型

典型特征

题目说“薄片”“密度”“质量”。

思路

质量：

$$M={\iint }_{\Sigma }\mu dS$$

重心坐标：

$$\bar{x}=\frac{1}{M}{\iint }_{\Sigma }x\mu dS$$

$$\bar{y}=\frac{1}{M}{\iint }_{\Sigma }y\mu dS$$

$$\bar{z}=\frac{1}{M}{\iint }_{\Sigma }z\mu dS$$

考研数学一更常见的是求质量，重心相对少见，但思路一致。

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六、第一型曲面积分的常见“脑内检索表”

做题时可以快速问自己下面几个问题。

第一步：这个曲面好投影吗？

如果是

$$z=f(x,y)$$

直接投影到 $xOy$。

如果是

$$x=f(y,z)$$

投影到 $yOz$。

如果是

$$y=f(x,z)$$

投影到 $xOz$。

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第二步：投影区域是什么？

曲面积分真正的难点常常不是 $dS$，而是投影区域。

例如：

$$x^2+y^2\le 2x$$

要立刻想到：

$$(x-1{)}^2+y^2\le 1$$

极坐标下：

$$0\le r\le 2\cos \theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

再如：

$$x+y+z=1,x,y,z\ge 0$$

投影到 $xOy$：

$$x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1$$

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第三步：有没有对称性？

如果曲面和区域关于某坐标面对称，优先用对称性。

例如：

$${\iint }_{\Sigma }xdS=0$$

常常比硬算快得多。

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第四步：有没有绝对值？

如果出现：

$$|x|,|y|,|z|$$

要分区域或利用对称性。

例如在第一卦限：

$$|x|=x,|y|=y,|z|=z$$

在整个对称曲面上：

$${\iint }_{\Sigma }|y|dS$$

通常可以化为若干倍第一卦限积分。

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第五步：用什么坐标最顺？

• 圆域、圆环、圆锥：极坐标；
• 球面：球坐标；
• 柱面：柱面参数；
• 平面三角形：直角坐标；
• 椭圆区域：椭圆代换。

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七、细节处理：考试最容易错的点

1. 第一型曲面积分没有方向

如果题目是

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$$

那么“上侧”“下侧”“外侧”不改变符号。

这些方向词通常只是在说明曲面是哪一片。

但第二型曲面积分就不同，第二型曲面积分方向会影响正负号。

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2. $dS$ 和 $dxdy$ 不是一回事

很多错误来自直接把

$$dS$$

当成

$$dxdy$$

例如：

$$z=f(x,y)$$

必须有

$$dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$$

只有当曲面本身就是 $xOy$ 平面的一部分时，才有 $dS=dxdy$。

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3. 极坐标时不要漏掉 $r$

如果已经写成

$$dS=\sqrt{2}dxdy$$

再换极坐标：

$$dxdy=rdrd\theta$$

所以

$$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$$

不能写成 $\sqrt{2}drd\theta$。

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4. 上半球投影时 $dS$ 会变复杂

若

$$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$$

则

$$z_x=-\frac{x}{z},z_y=-\frac{y}{z}$$

所以

$$dS=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{z^2}}dxdy=\frac{a}{z}dxdy$$

也就是

$$dS=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy$$

这在球面投影法中很常用。

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5. 被积函数要代入曲面方程

例如在圆锥面

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

上，若被积函数中有 $z$，必须替换成

$$z=r$$

或

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

不能把 $z$ 当成独立变量。

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6. 分片曲面不能乱乘倍数

如果曲面有八片，但被积函数不是每片都一样，不能直接乘 $8$。

例如：

$${\iint }_{\Sigma }xdS$$

在对称曲面上不是 $8$ 倍第一卦限积分，而是整体为 $0$。

但

$${\iint }_{\Sigma }|x|dS$$

才可以转化为 $8$ 倍第一卦限上的

$${\iint }_{{\Sigma }_1}xdS$$

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八、一个完整的解题模板

遇到第一型曲面积分，可以按下面格式写。

第一步：确定曲面表达式

例如：

$$\Sigma :z=f(x,y)$$

第二步：确定投影区域

$$D=\text{曲面在 }xOy\text{ 面上的投影}$$

第三步：写面积元

$$dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$$

第四步：代入被积函数

$$f(x,y,z)\to f(x,y,f(x,y))$$

第五步：化成二重积分

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x,y,f(x,y))\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$$

第六步：选择坐标计算

若 $D$ 是圆域，用极坐标；

若 $D$ 是三角形，用直角坐标；

若 $D$ 是椭圆，用椭圆代换。

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九、用“盯住目标—检索思路—细节处理”复盘几类真题

例型一：圆锥面上的 ${\iint }_{\Sigma }|z|dS$

盯住目标

把

$${\iint }_{\Sigma }|z|dS$$

变成平面区域上的二重积分。

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检索思路

圆锥面：

$$z=\sqrt{x^2+y^2}=r$$

且 $z\ge 0$，所以

$$|z|=z=r$$

面积元：

$$dS=\sqrt{2}rdrd\theta$$

所以积分核心变成：

$$\sqrt{2}{\iint }_D{r}^{2}drd\theta$$

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细节处理

重点是找 $D$。

如果由柱面

$$x^2+y^2\le 2x$$

限制，则：

$$0\le r\le 2\cos \theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

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例型二：平面三角形上的 ${\iint }_{\Sigma }{y}^{2}dS$

图片中有类似：

$$\Sigma =\{(x,y,z)\mid x+y+z=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}$$

求

$${\iint }_{\Sigma }{y}^{2}dS$$

盯住目标

曲面是平面片，求第一型曲面积分。

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检索思路

写成

$$z=1-x-y$$

所以

$$dS=\sqrt{3}dxdy$$

投影区域：

$$D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1\}$$

于是

$${\iint }_{\Sigma }{y}^{2}dS=\sqrt{3}{\iint }_D{y}^{2}dxdy$$

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细节处理

区域积分可写成：

$$0\le x\le 1,0\le y\le 1-x$$

或

$$0\le y\le 1,0\le x\le 1-y$$

因为被积函数只含 $y$，后者更方便：

$$\sqrt{3}{\int }_0^1{\int }_0^{1-y}{y}^{2}dxdy$$

这里体现一个重要习惯：

积分限的选择要服务于被积函数，能少算就少算。

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例型三：八面体表面上的绝对值积分

$$\Sigma :|x|+|y|+|z|=1$$

求类似：

$${\iint }_{\Sigma }(x+|y|)dS$$

盯住目标

整体曲面对称，被积函数含奇函数和绝对值。

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检索思路

先分解：

$${\iint }_{\Sigma }(x+|y|)dS={\iint }_{\Sigma }xdS+{\iint }_{\Sigma }|y|dS$$

由于关于 $x=0$ 对称：

$${\iint }_{\Sigma }xdS=0$$

所以只算：

$${\iint }_{\Sigma }|y|dS$$

再用八面对称：

$${\iint }_{\Sigma }|y|dS=8{\iint }_{{\Sigma }_1}ydS$$

其中

$${\Sigma }_1:x+y+z=1,x,y,z\ge 0$$

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细节处理

在第一卦限：

$$dS=\sqrt{3}dxdy$$

投影区域：

$$x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1$$

所以只需要算：

$$8\sqrt{3}{\iint }_{D}ydxdy$$

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例型四：球面上用对称性判断

若 $S$ 是球面

$$x^2+y^2+z^2=a^2$$

在第一卦限中的部分，题目比较：

$${\iint }_{S}xdS,{\iint }_{S}ydS,{\iint }_{S}zdS$$

盯住目标

不急算，先观察球面对 $x,y,z$ 的对称性。

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检索思路

如果是第一卦限球面，关于三个变量的角色是否完全对称，要看区域限制是否相同。

第一卦限条件：

$$x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$$

对 $x,y,z$ 是对称的，所以：

$${\iint }_{S}xdS={\iint }_{S}ydS={\iint }_{S}zdS$$

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细节处理

如果曲面不是完整第一卦限，而是又被某个柱面或平面限制，变量对称性可能被破坏。

例如限制条件只含 $x^2+y^2$，则 $x,y$ 对称，但 $z$ 不一定和它们对称。

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例型五：上半球投影计算

设

$$\Sigma :z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$$

求

$${\iint }_{\Sigma }zdS$$

盯住目标

这是上半球第一型曲面积分。

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检索思路

可以用投影法。

因为

$$dS=\frac{a}{z}dxdy$$

所以

$$zdS=z\cdot \frac{a}{z}dxdy=adxdy$$

于是

$${\iint }_{\Sigma }zdS=a{\iint }_{D}dxdy$$

其中 $D$ 是圆盘

$$x^2+y^2\le a^2$$

这比球坐标更快。

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细节处理

这类题体现一个非常重要的技巧：

球面上若被积函数含 $z$，常常能和 $dS=\frac{a}{z}dxdy$ 抵消。

同理，对于上半球：

$${\iint }_{\Sigma }xdS={\iint }_{D}x\frac{a}{z}dxdy$$

由于投影圆盘关于 $x=0$ 对称，被积函数关于 $x$ 为奇，积分为 $0$。

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十、第一型曲面积分与第二型曲面积分的区别

虽然图片中同时出现第一型和第二型曲面积分，但这次重点是第一型。必须区分：

第一型曲面积分

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$$

特点：

• 没有方向；
• 面积元是 $dS$；
• 常用于面积、质量；
• 主要方法是投影、参数化、对称性。

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第二型曲面积分

$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

特点：

• 有方向；
• 外侧、内侧、上侧、下侧会影响符号；
• 常用高斯公式、斯托克斯公式、投影符号判断。

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第一型曲面积分中，题目说“上侧”“外侧”一般不影响 $dS$，但第二型曲面积分中会直接影响答案正负。

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十一、考研中第一型曲面积分的做题优先级

建议按照下面优先级：

第一优先级：对称性

如果能用对称性消掉或倍乘，先用对称性。

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第二优先级：标准曲面公式

• 平面：$dS$ 是常数倍 $dxdy$；
• 圆锥：$dS=\sqrt{2}dxdy$；
• 球面：可用球坐标或 $dS=\frac{a}{z}dxdy$；
• 柱面：参数法 $dS=Rd\theta dz$。

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第三优先级：投影区域

投影区域决定积分限，必须画草图或在脑中还原区域。

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第四优先级：换元计算

圆域用极坐标，椭圆域用椭圆代换，三角形用直角坐标。

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十二、最终总结：第一型曲面积分的脑内流程

遇到题目时，脑子里按这条线走：

$$\boxed{\text{看曲面}\to \text{选投影或参数}\to \text{写 }dS\to \text{代入曲面方程}\to \text{确定区域}\to \text{用对称性或换元计算}}$$

更具体地说：

1. 如果是 $z=f(x,y)$，就用
   $$dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$$

2. 如果是平面，$dS$ 是常数倍面积元。

3. 如果是圆锥面，优先用极坐标。

4. 如果是球面，先看对称性，再考虑球坐标。

5. 如果有绝对值，先分象限或利用对称性。

6. 如果是质量题，先写
   $$M={\iint }_{\Sigma }\mu dS$$

7. 如果是选择题，很多时候不必算完，判断奇偶性和对称性即可。

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十三、一句话掌握第一型曲面积分

第一型曲面积分的本质不是“在曲面上硬积分”，而是：

$$\boxed{\text{把曲面面积元 }dS\text{ 换成平面面积元，再用二重积分解决。}}$$

真正的能力在于三点：

$$\boxed{\text{会选投影，会写 }dS\text{，会利用对称性。}}$$

只要这三点熟练，考研数学一中的第一型曲面积分大多数题都能稳定处理。