三重积分

一、三重积分到底在算什么

三重积分的标准形式是

∭_{Ω} f (x, y, z) d v

其中 $Ω$ 是空间区域， $d v$ 是体积微元。

它的本质是：

在空间区域 $Ω$ 内，把每一点的函数值 $f (x, y, z)$ 乘以小体积，再全部累加。

如果

f (x, y, z) = 1

则

∭_{Ω} 1 d v

就是空间区域 $Ω$ 的体积。

如果 $f (x, y, z)$ 表示密度，则

m = ∭_{Ω} f (x, y, z) d v

就是物体的质量。

如果要求质心，则常用：

\overset{x}{ˉ} = \frac{∭ _{Ω} x ρ d v}{∭ _{Ω} ρ d v}

\overset{y}{ˉ} = \frac{∭ _{Ω} y ρ d v}{∭ _{Ω} ρ d v}

\overset{z}{ˉ} = \frac{∭ _{Ω} z ρ d v}{∭ _{Ω} ρ d v}

三重积分没有方向性，核心是：

认清空间区域，选择合适坐标，写出积分限。

二、三重积分的核心方法

考研数学一中，三重积分主要有四种计算方法：

直角坐标, 柱面坐标, 球面坐标, 对称性与几何意义

其中最常用的是柱面坐标和球面坐标。

三、直角坐标法

1. 基本形式

若空间区域可以写成：

D_{x y} : (x, y) \in D

z_{1} (x, y) \leq z \leq z_{2} (x, y)

则：

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = \iint_{D} [\int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z] d x d y

即：

∭_{Ω} f d v = \iint_{D} \int_{z_{1}}^{z_{2}} f d z d x d y

这叫“先投影到 $x y$ 平面”。

2. 适用情形

直角坐标适合：

区域由平面围成；
上下界容易写成 $z = z (x, y)$ ；
投影区域是矩形、三角形、简单平面区域；
被积函数本身适合直角坐标。

例如：

Ω : x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1

就是典型直角坐标区域。

可写成：

0 \leq x \leq 1

0 \leq y \leq 1 - x

0 \leq z \leq 1 - x - y

所以：

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1 - x} d y \int_{0}^{1 - x - y} f (x, y, z) d z

四、柱面坐标法

1. 柱面坐标变换

柱面坐标为：

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z

其中：

r = x^{2} + y^{2}

体积微元为：

d v = r d r d θ d z

所以：

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = ∭_{Ω^{'}} f (r cos θ, r sin θ, z) r d r d θ d z

2. 适用情形

柱面坐标适合：

区域绕 $z$ 轴旋转；
出现 $x^{2} + y^{2}$ ；
投影到 $x y$ 平面是圆、圆环、扇形；
曲面形如 $z = f (x^{2} + y^{2})$ ；
圆柱、圆锥、旋转抛物面、旋转体。

看到下面结构，要优先想到柱面坐标：

x^{2} + y^{2}, z = x^{2} + y^{2}, z = x^{2} + y^{2}, x^{2} + y^{2} \leq R^{2}

3. 常见柱面坐标区域

圆柱体

x^{2} + y^{2} \leq R^{2}, a \leq z \leq b

写成：

0 \leq r \leq R, 0 \leq θ \leq 2 π, a \leq z \leq b

圆锥体

z = x^{2} + y^{2}

在柱面坐标下：

z = r

若又有

z \leq h

则：

0 \leq z \leq h, 0 \leq r \leq z

或：

0 \leq r \leq h, r \leq z \leq h

具体顺序看哪种更方便。

旋转抛物面

z = x^{2} + y^{2}

在柱面坐标下：

z = r^{2}

若区域为：

x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1

则：

0 \leq r \leq 1, r^{2} \leq z \leq 1

五、球面坐标法

1. 球面坐标变换

常用球面坐标为：

x = ρ sin φ cos θ

y = ρ sin φ sin θ

z = ρ cos φ

其中：

ρ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

0 \leq θ \leq 2 π

0 \leq φ \leq π

体积微元为：

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

所以：

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = ∭_{Ω^{'}} f (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ) ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

2. 适用情形

球面坐标适合：

球体；
球壳；
圆锥与球围成的区域；
被积函数含 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ；
区域由球面 $ρ = R$ 和圆锥面 $φ = α$ 限制。

看到：

x^{2} + y^{2} + z^{2}

或者：

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}

要优先想到球面坐标。

3. 常见球面坐标曲面

球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

即：

ρ = R

上半球

z \geq 0

对应：

0 \leq φ \leq \frac{π}{2}

下半球

z \leq 0

对应：

\frac{π}{2} \leq φ \leq π

圆锥面

z = x^{2} + y^{2}

在球面坐标中：

ρ cos φ = ρ sin φ

所以：

φ = \frac{π}{4}

因此圆锥面常常使球面坐标极其简单。

六、三重积分的三项解题法

和前面曲线、曲面积分类似，三重积分也按三步：

盯住目标 \to 检索思路 \to 细节处理

1. 盯住目标：先看要算什么

看到三重积分，先问四个问题。

问题一：被积函数是什么？

常见被积函数有：

1, x, y, z, x^{2} + y^{2}, x^{2} + y^{2} + z^{2}

如果是 $1$ ，就是体积。

如果是 $z$ ，常和质心的 $\overset{z}{ˉ}$ 有关。

如果是 $x^{2} + y^{2}$ ，优先柱面坐标。

如果是 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ，优先球面坐标。

问题二：区域 $Ω$ 是什么形状？

区域可能是：

球；
半球；
球冠；
圆锥；
圆柱；
旋转体；
四面体；
椭球；
由曲面上下夹出的空间区域。

区域决定坐标系。

问题三：有没有旋转对称性？

如果区域绕 $z$ 轴旋转，通常用柱面坐标或球面坐标。

例如：

z = x^{2} + y^{2}

z = 1 - x^{2} - y^{2}

z = x^{2} + y^{2}

都天然适合柱面坐标。

问题四：有没有奇偶对称性？

若 $Ω$ 关于 $x = 0$ 对称，则：

∭_{Ω} x d v = 0

若关于 $y = 0$ 对称，则：

∭_{Ω} y d v = 0

若关于 $z = 0$ 对称，则：

∭_{Ω} z d v = 0

更一般地，若被积函数关于某变量是奇函数，而区域关于对应坐标面对称，则积分为零。

2. 检索思路：根据区域选方法

三重积分最重要的不是硬算，而是选坐标。

方法一：直角坐标

适合平面边界区域。

典型：

x + y + z = 1

与三个坐标平面围成四面体。

若

Ω = {x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1}

则：

∭_{Ω} f d v = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1 - x} d y \int_{0}^{1 - x - y} f d z

方法二：柱面坐标

适合绕 $z$ 轴旋转区域。

典型：

x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1

变为：

r^{2} \leq z \leq 1

0 \leq r \leq 1

所以：

∭_{Ω} f d v = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r d r \int_{r^{2}}^{1} f (r cos θ, r sin θ, z) d z

方法三：球面坐标

适合球、球锥组合。

例如区域：

z = x^{2} + y^{2}

与

z = 4 - x^{2} - y^{2}

围成。

第一曲面是圆锥：

φ = \frac{π}{4}

第二曲面是上半球：

ρ = 2

区域在圆锥上方、球内，所以：

0 \leq θ \leq 2 π

0 \leq φ \leq \frac{π}{4}

0 \leq ρ \leq 2

这是典型球面坐标题。

方法四：利用对称性

例如：

Ω_{1} : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq 0

是上半球。

Ω_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

是第一卦限球。

比较：

∭_{Ω_{1}} z d v

和

∭_{Ω_{2}} z d v

由于 $z$ 与 $x, y$ 无关，且上半球可以分成 $x, y$ 四个象限对称部分，所以：

∭_{Ω_{1}} z d v = 4 ∭_{Ω_{2}} z d v

这种题考的是对称性，不是计算。

七、结合图片真题归纳典型题型

题型一：球体、半球、卦限球的对称性

图片中例 1 类似：

设

Ω_{1} : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq 0

Ω_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

判断积分关系。

盯住目标

这是空间区域对称性比较题。

$Ω_{1}$ 是上半球， $Ω_{2}$ 是第一卦限球。

上半球可以分成四个完全对称的卦限部分：

x ⋛ 0, y ⋛ 0, z \geq 0

检索思路

看被积函数是否在这四部分中保持相同。

对于

z

因为 $z \geq 0$ ，且与 $x, y$ 的符号无关，所以四部分贡献相等：

∭_{Ω_{1}} z d v = 4 ∭_{Ω_{2}} z d v

对于

x

上半球关于 $x = 0$ 对称， $x$ 是奇函数，所以：

∭_{Ω_{1}} x d v = 0

但在第一卦限：

∭_{Ω_{2}} x d v > 0

所以不能有四倍关系。

对于

y

同理：

∭_{Ω_{1}} y d v = 0

对于

x y z

上半球关于 $x = 0$ 和 $y = 0$ 对称， $x y z$ 对 $x$ 或 $y$ 都是奇函数，所以：

∭_{Ω_{1}} x y z d v = 0

而第一卦限内积分为正。

细节处理

对称性题要问：

区域能否分成若干完全相同部分；
被积函数在这些部分是否同号同值；
若被积函数是奇函数，是否直接为零。

这类题答案通常是：

∭_{Ω_{1}} z d v = 4 ∭_{Ω_{2}} z d v

题型二：圆锥与球面围成区域

图片中例 2、例 14 类似：

Ω

由

z = x^{2} + y^{2}

和

z = 1 - x^{2} - y^{2}

或

z = 4 - x^{2} - y^{2}

围成。

盯住目标

这是圆锥面和上半球面围成的区域。

圆锥：

z = x^{2} + y^{2}

球面：

z = R^{2} - x^{2} - y^{2}

检索思路一：柱面坐标

柱面坐标下：

z = r

z = R^{2} - r^{2}

二者交线由：

r = R^{2} - r^{2}

得到：

2 r^{2} = R^{2}

r = \frac{R}{2}

所以区域可以写成：

0 \leq θ \leq 2 π

0 \leq r \leq \frac{R}{2}

r \leq z \leq R^{2} - r^{2}

因此：

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{R / 2} r d r \int_{r}^{R^{2} - r^{2}} f (r cos θ, r sin θ, z) d z

检索思路二：球面坐标

球面坐标下：

z = x^{2} + y^{2}

对应：

φ = \frac{π}{4}

球面：

ρ = R

区域在圆锥内部且在球内：

0 \leq θ \leq 2 π

0 \leq φ \leq \frac{π}{4}

0 \leq ρ \leq R

因此：

∭_{Ω} f (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π /4} sin φ d φ \int_{0}^{R} f (ρ^{2}) ρ^{2} d ρ

细节处理

如果被积函数是：

f (x^{2} + y^{2} + z^{2})

球面坐标最优，因为：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = ρ^{2}

如果被积函数是：

x + z

柱面坐标也可以，但 $x = r cos θ$ 的部分在整圆对称区域中积分为零，只需算 $z$ 部分。

题型三：平面曲线绕 $z$ 轴旋转形成旋转体

图片中例 3、例 5 类似：

平面曲线

y^{2} = 2 z, x = 0

绕 $z$ 轴旋转一周，与平面 $z = 4$ 或 $z = 8$ 围成立体。

盯住目标

曲线在 $y z$ 平面内。

y^{2} = 2 z

绕 $z$ 轴旋转后， $y^{2}$ 变成半径平方：

x^{2} + y^{2}

所以旋转曲面方程是：

x^{2} + y^{2} = 2 z

即：

r^{2} = 2 z

或：

z = \frac{r ^{2}}{2}

检索思路

如果与平面

z = h

围成区域，则：

0 \leq z \leq h

对于每个 $z$ ：

0 \leq r \leq 2 z

也可写成：

0 \leq r \leq 2 h

\frac{r ^{2}}{2} \leq z \leq h

若积分为：

∭_{Ω} (x^{2} + y^{2}) d v

则用柱面坐标：

x^{2} + y^{2} = r^{2}

d v = r d r d θ d z

所以：

I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{2 h} r d r \int_{r^{2} /2}^{h} r^{2} d z

细节处理

旋转曲面题的关键是：

平面曲线中到旋转轴的距离，旋转后变成空间中的半径 $r$ 。

如果曲线在 $y z$ 平面内绕 $z$ 轴旋转，原来的 $∣ y ∣$ 就变成：

r = x^{2} + y^{2}

题型四：线段绕 $z$ 轴旋转形成圆台或圆锥面

图片中例 4、例 11 类似：

已知直线过

A (1, 0, 0), B (0, 1, 1)

或线段 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求曲面方程、体积或形心。

盯住目标

这类题不是直接给曲面，而是先让你识别旋转曲面。

直线 $A B$ 上，点的半径为：

r = x^{2} + y^{2}

由于绕 $z$ 轴旋转，曲面方程应写成 $r$ 与 $z$ 的关系。

检索思路

线段从：

A (1, 0, 0)

到：

B (0, 1, 1)

两点到 $z$ 轴的距离都是：

r_{A} = 1, r_{B} = 1

而 $z$ 从 $0$ 到 $1$ 。

所以线段绕 $z$ 轴旋转后，如果半径始终为 $1$ ，就是圆柱面：

x^{2} + y^{2} = 1

但要注意：如果直线不是仅由端点半径决定，还要看整条线段上 $r$ 是否恒定。

参数化线段：

(x, y, z) = (1 - t, t, t), 0 \leq t \leq 1

则：

r^{2} = x^{2} + y^{2} = (1 - t)^{2} + t^{2}

z = t

所以：

r^{2} = (1 - z)^{2} + z^{2}

即旋转曲面为：

x^{2} + y^{2} = (1 - z)^{2} + z^{2}

也就是：

x^{2} + y^{2} = 2 z^{2} - 2 z + 1

细节处理

不能只看端点半径相等就判断是圆柱。

因为线段中间点到 $z$ 轴距离可能变小。

例如 $t = \frac{1}{2}$ 时：

r^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

半径为 $\frac{1}{2}$ ，不是 $1$ 。

因此旋转面是一个“腰部收缩”的旋转曲面。

题型五：球体内密度与距离平方有关，求质心

图片中例 6 类似：

半径为 $R$ 的球体， $P_{0}$ 是球面上一点，球内任一点密度与该点到 $P_{0}$ 距离平方成正比，求质心位置。

盯住目标

这是三重积分的物理应用：质心。

由于密度关于某个球面点 $P_{0}$ 不对称，质心会沿球心到 $P_{0}$ 的连线偏移。

检索思路

不妨设球心为原点，取：

P_{0} = (0, 0, R)

球体：

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}

任一点 $P (x, y, z)$ 到 $P_{0}$ 的距离平方：

P P_{0}^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - R)^{2}

所以密度：

ρ = k [x^{2} + y^{2} + (z - R)^{2}]

展开：

ρ = k (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 R z + R^{2})

由于区域关于 $x = 0$ 、 $y = 0$ 对称：

\overset{x}{ˉ} = 0, \overset{y}{ˉ} = 0

只需求：

\overset{z}{ˉ} = \frac{∭ _{Ω} z ρ d v}{∭ _{Ω} ρ d v}

用球体对称性：

∭_{Ω} z d v = 0

∭_{Ω} x^{2} d v = ∭_{Ω} y^{2} d v = ∭_{Ω} z^{2} d v

且：

∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v = ∭_{Ω} r^{2} d v

细节处理

这题关键不是硬算所有积分，而是利用对称性：

∭_{Ω} x d v = ∭_{Ω} y d v = ∭_{Ω} z d v = 0

∭_{Ω} x z d v = ∭_{Ω} y z d v = 0

∭_{Ω} z (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v = 0

因为这些都是关于 $z$ 或 $x, y$ 的奇函数。

最后质心只会在 $z$ 轴上。

题型六：球体内积分与二重积分比较

图片中例 7 类似：

设 $f (x)$ 连续且恒大于零，

F (t) = \frac{∭ _{Ω (t)} f ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) d v}{\iint _{D (t)} f ( x ^{2} + y ^{2} ) d σ}

其中：

Ω (t) = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq t^{2}}

D (t) = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq t^{2}}

讨论单调性或证明不等式。

盯住目标

这是参数积分与平均值比较题。

由于区域是球和圆盘，被积函数是径向函数，优先用球面坐标和极坐标。

检索思路

球内积分：

∭_{Ω (t)} f (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v = 4 π \int_{0}^{t} f (r^{2}) r^{2} d r

圆盘积分：

\iint_{D (t)} f (x^{2} + y^{2}) d σ = 2 π \int_{0}^{t} f (r^{2}) r d r

因此：

F (t) = \frac{4 π \int _{0}^{t} f ( r ^{2} ) r ^{2} d r}{2 π \int _{0}^{t} f ( r ^{2} ) r d r} = 2 \frac{\int _{0}^{t} f ( r ^{2} ) r ^{2} d r}{\int _{0}^{t} f ( r ^{2} ) r d r}

后续单调性通常用积分平均值、导数或 Chebyshev 型思想处理。

细节处理

这种题的关键是先把空间积分降成一维积分。

不要在三维空间里硬分析。

题型七：单位球内积分

图片中例 8 类似：

Ω = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1}

求：

∭_{Ω} z^{2} d x d y d z

盯住目标

区域是单位球，函数是 $z^{2}$ 。

检索思路一：对称性

由于单位球关于三个坐标轴完全对称：

∭_{Ω} x^{2} d v = ∭_{Ω} y^{2} d v = ∭_{Ω} z^{2} d v

所以：

3 ∭_{Ω} z^{2} d v = ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v

用球坐标：

∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{0}^{1} ρ^{2} \cdot ρ^{2} d ρ

= 4 π \cdot \frac{1}{5} = \frac{4 π}{5}

所以：

∭_{Ω} z^{2} d v = \frac{4 π}{15}

检索思路二：直接球坐标

z = ρ cos φ

z^{2} = ρ^{2} cos^{2} φ

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

所以：

I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} cos^{2} φ sin φ d φ \int_{0}^{1} ρ^{4} d ρ

也得：

I = \frac{4 π}{15}

细节处理

球对称区域中，遇到 $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ 优先用：

∭_{Ω} x^{2} d v = ∭_{Ω} y^{2} d v = ∭_{Ω} z^{2} d v

比直接算更快。

题型八：椭球与圆锥之间的体积

图片中例 9 类似：

椭球面 $S_{1}$ 是椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

绕 $x$ 轴旋转而成。

圆锥面 $S_{2}$ 是由过点 $(4, 0)$ 且与椭圆相切的直线绕 $x$ 轴旋转而成。

求 $S_{1}, S_{2}$ 方程及二者之间体积。

盯住目标

这是旋转曲面与体积问题。

旋转轴是 $x$ 轴，所以要把 $y^{2}$ 替换为：

y^{2} + z^{2}

检索思路

椭圆：

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

绕 $x$ 轴旋转后：

S_{1} : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2} + z ^{2}}{3} = 1

这是椭球。

对于圆锥面，先求过 $(4, 0)$ 与椭圆相切的直线。

设直线：

y = k (x - 4)

与椭圆相切，代入：

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{k ^{2} ( x - 4 ) ^{2}}{3} = 1

判别式为零，求出 $k$ 。

得到切线后，绕 $x$ 轴旋转，直线中的 $y^{2}$ 变为：

y^{2} + z^{2}

从而得到圆锥面方程。

细节处理

绕哪个轴旋转，就把“到该轴的距离平方”写出来。

绕 $x$ 轴：

半径平方 = y^{2} + z^{2}

绕 $z$ 轴：

半径平方 = x^{2} + y^{2}

这是旋转曲面题的核心。

题型九：形心坐标

图片中例 10、例 11、例 13 类似：

给定空间区域 $Ω$ ，求形心：

(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, \overset{z}{ˉ})

盯住目标

如果密度均匀，形心就是：

\overset{x}{ˉ} = \frac{∭ _{Ω} x d v}{V}

\overset{y}{ˉ} = \frac{∭ _{Ω} y d v}{V}

\overset{z}{ˉ} = \frac{∭ _{Ω} z d v}{V}

其中：

V = ∭_{Ω} 1 d v

检索思路

先看对称性。

如果 $Ω$ 绕 $z$ 轴旋转，则：

\overset{x}{ˉ} = 0, \overset{y}{ˉ} = 0

只需求：

\overset{z}{ˉ} = \frac{∭ _{Ω} z d v}{∭ _{Ω} 1 d v}

例如：

Ω = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1}

用柱面坐标：

0 \leq θ \leq 2 π

0 \leq r \leq 1

r^{2} \leq z \leq 1

体积：

V = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r d r \int_{r^{2}}^{1} d z

关于 $z$ 的一阶矩：

M_{x y} = ∭_{Ω} z d v = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r d r \int_{r^{2}}^{1} z d z

于是：

\overset{z}{ˉ} = \frac{M _{x y}}{V}

细节处理

形心题中常见错误是忘记先用对称性。

旋转体一般直接有：

\overset{x}{ˉ} = \overset{y}{ˉ} = 0

只算 $\overset{z}{ˉ}$ 。

题型十：四面体上的三重积分

图片中例 12 类似：

Ω

由

x + y + z = 1

与三个坐标平面围成，求：

∭_{Ω} (x + 2 y + 3 z) d x d y d z

盯住目标

这是第一卦限中的四面体。

区域：

x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1

检索思路一：直角坐标硬算

0 \leq x \leq 1

0 \leq y \leq 1 - x

0 \leq z \leq 1 - x - y

所以：

I = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1 - x} d y \int_{0}^{1 - x - y} (x + 2 y + 3 z) d z

检索思路二：形心法

四面体顶点为：

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

其形心：

(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})

体积：

V = \frac{1}{6}

因此：

∭_{Ω} x d v = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}

同理：

∭_{Ω} y d v = \frac{1}{24}

∭_{Ω} z d v = \frac{1}{24}

所以：

I = \frac{1}{24} + 2 \cdot \frac{1}{24} + 3 \cdot \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}

细节处理

线性函数在单纯形上的积分，可用“体积乘形心处函数值”：

∭_{Ω} (a x + b y + cz + d) d v = V \cdot f (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, \overset{z}{ˉ})

这里：

f (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

所以：

I = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4}

八、三重积分常用区域模板

1. 球体

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}

球面坐标：

0 \leq ρ \leq R

0 \leq φ \leq π

0 \leq θ \leq 2 π

体积：

V = \frac{4}{3} π R^{3}

2. 上半球

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq 0

球面坐标：

0 \leq ρ \leq R

0 \leq φ \leq \frac{π}{2}

0 \leq θ \leq 2 π

体积：

V = \frac{2}{3} π R^{3}

3. 第一卦限球

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

球面坐标：

0 \leq ρ \leq R

0 \leq φ \leq \frac{π}{2}

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

体积：

V = \frac{1}{6} π R^{3}

因为是球的八分之一。

4. 圆柱体

x^{2} + y^{2} \leq R^{2}, 0 \leq z \leq h

柱面坐标：

0 \leq r \leq R

0 \leq θ \leq 2 π

0 \leq z \leq h

体积：

V = π R^{2} h

5. 圆锥体

0 \leq z \leq h, x^{2} + y^{2} \leq z^{2}

柱面坐标：

0 \leq z \leq h

0 \leq r \leq z

0 \leq θ \leq 2 π

体积：

V = \frac{1}{3} π h^{3}

如果圆锥为：

z = x^{2} + y^{2}

到 $z = h$ ，底面半径就是 $h$ 。

6. 抛物体

x^{2} + y^{2} \leq z \leq h

柱面坐标：

0 \leq r \leq h

r^{2} \leq z \leq h

0 \leq θ \leq 2 π

7. 四面体

x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq a

直角坐标：

0 \leq x \leq a

0 \leq y \leq a - x

0 \leq z \leq a - x - y

体积：

V = \frac{a ^{3}}{6}

形心：

(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a}{4})

九、三重积分中的对称性总结

1. 关于 $x = 0$ 对称

若 $Ω$ 关于 $x = 0$ 对称，则：

∭_{Ω} x d v = 0

更一般地，若 $f (- x, y, z) = - f (x, y, z)$ ，则：

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = 0

2. 关于 $y = 0$ 对称

若 $Ω$ 关于 $y = 0$ 对称，则：

∭_{Ω} y d v = 0

3. 关于 $z = 0$ 对称

若 $Ω$ 关于 $z = 0$ 对称，则：

∭_{Ω} z d v = 0

4. 球体中的平方项相等

在球体或关于三个坐标完全对称的区域中：

∭_{Ω} x^{2} d v = ∭_{Ω} y^{2} d v = ∭_{Ω} z^{2} d v

所以：

∭_{Ω} x^{2} d v = \frac{1}{3} ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v

5. 旋转体的形心

若 $Ω$ 绕 $z$ 轴旋转对称，则：

\overset{x}{ˉ} = 0, \overset{y}{ˉ} = 0

只需求：

\overset{z}{ˉ}

若还关于 $z = 0$ 对称，则：

\overset{z}{ˉ} = 0

形心为原点。

十、三重积分的换元公式

1. 柱面坐标

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z

d v = r d r d θ d z

常见替换：

x^{2} + y^{2} = r^{2}

x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2} + z^{2}

2. 球面坐标

x = ρ sin φ cos θ

y = ρ sin φ sin θ

z = ρ cos φ

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

常见替换：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = ρ^{2}

x^{2} + y^{2} = ρ sin φ

z = ρ cos φ

3. 椭球伸缩变换

若区域为椭球：

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} \leq 1

可令：

x = a u, y = b v, z = c w

则：

u^{2} + v^{2} + w^{2} \leq 1

雅可比为：

\frac{\partial ( x , y , z )}{\partial ( u , v , w )} = ab c

所以：

d v = ab c d u d v d w

椭球体积：

V = \frac{4}{3} π ab c

十一、常见错误与陷阱

错误一：柱面坐标忘记乘 $r$

柱面坐标中：

d v \neq = d r d θ d z

而是：

d v = r d r d θ d z

这是三重积分最常见错误之一。

错误二：球面坐标忘记乘 $ρ^{2} sin φ$

球面坐标中：

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

不能漏掉 $ρ^{2} sin φ$ 。

错误三：球面坐标角度范围错

常用约定：

φ

是从 $z$ 轴正向量下量的角。

所以：

上半球： $0 \leq φ \leq \frac{π}{2}$ ；
下半球： $\frac{π}{2} \leq φ \leq π$ ；
圆锥 $z = r$ ： $φ = \frac{π}{4}$ 。

错误四：旋转曲面方程写错

绕 $z$ 轴旋转：

半径平方 = x^{2} + y^{2}

绕 $x$ 轴旋转：

半径平方 = y^{2} + z^{2}

绕 $y$ 轴旋转：

半径平方 = x^{2} + z^{2}

不要把旋转轴搞错。

错误五：积分限上下界反了

例如由圆锥

z = r

和上半球

z = R^{2} - r^{2}

围成区域，应是：

r \leq z \leq R^{2} - r^{2}

而不是反过来。

交线：

r = R^{2} - r^{2}

给出：

r = \frac{R}{2}

错误六：对称性乱用

若区域不是完整对称区域，不能随便说奇函数积分为零。

例如第一卦限球中：

∭_{Ω} x d v > 0

不是 $0$ 。

只有区域关于 $x = 0$ 成对对称时， $∭ x d v$ 才为零。

十二、完整解题模板

遇到三重积分，可以按下面步骤。

第一步：看区域

判断 $Ω$ 是：

球；
半球；
圆柱；
圆锥；
抛物体；
旋转体；
四面体；
椭球。

第二步：看被积函数

判断是否适合：

直角坐标；
柱面坐标；
球面坐标；
对称性。

第三步：选坐标

一般规律：

平面多用直角，绕轴多用柱面，球形多用球面。

第四步：写积分限

先定最外层范围，再定中间层，最后定内层。

优先让内层上下界简单。

第五步：写体积微元

直角：

d v = d x d y d z

柱面：

d v = r d r d θ d z

球面：

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

第六步：计算或化简

能用对称性先用对称性。

能用几何意义先用几何意义。

不要一上来硬积分。

十三、用三项法复盘几个典型题

例型一：圆锥与球面围成区域

求：

∭_{Ω} (x + z) d v

其中 $Ω$ 由

z = x^{2} + y^{2}

和

z = 1 - x^{2} - y^{2}

围成。

盯住目标

区域绕 $z$ 轴对称，适合柱面或球面坐标。

被积函数为 $x + z$ 。

检索思路

由于区域关于 $x = 0$ 对称：

∭_{Ω} x d v = 0

所以只需求：

∭_{Ω} z d v

用柱面坐标：

z = r

z = 1 - r^{2}

交线：

r = 1 - r^{2}

所以：

r = \frac{1}{2}

因此：

I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1/ 2} r d r \int_{r}^{1 - r^{2}} z d z

细节处理

x = r cos θ

在 $0 \leq θ \leq 2 π$ 上积分为零。

所以被积函数中的 $x$ 项不用算。

例型二：旋转抛物面与平面围成区域

求：

I = ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2}) d v

其中 $Ω$ 由曲面

x^{2} + y^{2} = 2 z

和平面

z = 8

围成。

盯住目标

区域绕 $z$ 轴旋转，且被积函数为 $x^{2} + y^{2}$ 。

检索思路

用柱面坐标：

x^{2} + y^{2} = r^{2}

曲面：

r^{2} = 2 z

即：

z = \frac{r ^{2}}{2}

平面：

z = 8

交线：

r^{2} = 16

所以：

0 \leq r \leq 4

\frac{r ^{2}}{2} \leq z \leq 8

0 \leq θ \leq 2 π

原积分：

I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{4} r^{2} \cdot r d r \int_{r^{2} /2}^{8} d z

即：

I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{4} r^{3} (8 - \frac{r ^{2}}{2}) d r

细节处理

柱面坐标下，被积函数 $x^{2} + y^{2}$ 变为 $r^{2}$ ，体积微元还要再乘一个 $r$ 。

所以整体出现：

r^{3}

例型三：单位球中 $z^{2}$ 积分

求：

∭_{x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1} z^{2} d v

盯住目标

单位球，对称区域，平方项。

检索思路

由对称性：

∭_{Ω} x^{2} d v = ∭_{Ω} y^{2} d v = ∭_{Ω} z^{2} d v

所以：

3 I = ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v

球坐标：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = ρ^{2}

d v = ρ^{2} sin φ d ρ d φ d θ

因此：

3 I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{0}^{1} ρ^{4} d ρ = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4 π}{5}

所以：

I = \frac{4 π}{15}

细节处理

这个题不需要直接把 $z = ρ cos φ$ 代进去算，也可以用对称性更快。

例型四：四面体上的线性函数积分

设 $Ω$ 由

x + y + z = 1

与三个坐标平面围成，求：

∭_{Ω} (x + 2 y + 3 z) d v

盯住目标

区域是标准四面体，被积函数是线性函数。

检索思路

四面体体积：

V = \frac{1}{6}

形心：

(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4})

线性函数在区域上的积分等于体积乘以形心处函数值：

I = V \cdot f (\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, \overset{z}{ˉ})

所以：

I = \frac{1}{6} (\frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4})

= \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{4} = \frac{1}{4}

细节处理

若被积函数不是线性函数，就不能直接用这个方法。

十四、三重积分的脑内流程

遇到题目时按下面流程：

看区域 \to 看函数 \to 选坐标 \to 写范围 \to 乘雅可比 \to 算或化简

更具体地说：

平面围成的区域，优先直角坐标；
出现 $x^{2} + y^{2}$ ，优先柱面坐标；
出现 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ，优先球面坐标；
绕 $z$ 轴旋转，优先柱面坐标；
球与圆锥围成，优先球面坐标；
求形心，先看对称性；
求体积，令被积函数为 $1$ ；
写完坐标变换，必须检查体积微元。

十五、一句话总结三重积分

三重积分的核心不是计算技巧，而是空间想象：

∭_{Ω} f d v = 在空间区域内按体积累加函数值

真正会做题，靠三件事：

会识别区域，会选坐标，会写积分限。

考研数学一中，三重积分最常考的是：

柱面坐标、球面坐标、旋转体、对称性、形心。

只要把区域看清楚，积分限写对，再别忘记 $r$ 或 $ρ^{2} sin φ$ ，三重积分题基本就能稳定解决。

数一专项

案例

论文

其他资源

三重积分 ​

一、三重积分到底在算什么 ​

二、三重积分的核心方法 ​

三、直角坐标法 ​

1. 基本形式 ​

2. 适用情形 ​

四、柱面坐标法 ​

1. 柱面坐标变换 ​

2. 适用情形 ​

3. 常见柱面坐标区域 ​

圆柱体 ​

圆锥体 ​

旋转抛物面 ​

五、球面坐标法 ​

1. 球面坐标变换 ​

2. 适用情形 ​

3. 常见球面坐标曲面 ​

球面 ​

上半球 ​

下半球 ​

圆锥面 ​

六、三重积分的三项解题法 ​

1. 盯住目标：先看要算什么 ​

问题一：被积函数是什么？ ​

问题二：区域 Ω 是什么形状？ ​

问题三：有没有旋转对称性？ ​

问题四：有没有奇偶对称性？ ​

2. 检索思路：根据区域选方法 ​

方法一：直角坐标 ​

方法二：柱面坐标 ​

方法三：球面坐标 ​

方法四：利用对称性 ​

七、结合图片真题归纳典型题型 ​

题型一：球体、半球、卦限球的对称性 ​

盯住目标 ​

检索思路 ​

细节处理 ​

题型二：圆锥与球面围成区域 ​

盯住目标 ​

检索思路一：柱面坐标 ​

检索思路二：球面坐标 ​

细节处理 ​

题型三：平面曲线绕 z 轴旋转形成旋转体 ​

盯住目标 ​

检索思路 ​

细节处理 ​

题型四：线段绕 z 轴旋转形成圆台或圆锥面 ​

盯住目标 ​

检索思路 ​

细节处理 ​

题型五：球体内密度与距离平方有关，求质心 ​

盯住目标 ​

检索思路 ​

细节处理 ​

题型六：球体内积分与二重积分比较 ​

盯住目标 ​

检索思路 ​

细节处理 ​

题型七：单位球内积分 ​

盯住目标 ​

检索思路一：对称性 ​

检索思路二：直接球坐标 ​

细节处理 ​

题型八：椭球与圆锥之间的体积 ​

盯住目标 ​

检索思路 ​

细节处理 ​

题型九：形心坐标 ​

盯住目标 ​

检索思路 ​

细节处理 ​

题型十：四面体上的三重积分 ​

盯住目标 ​

检索思路一：直角坐标硬算 ​

检索思路二：形心法 ​

细节处理 ​

三重积分

一、三重积分到底在算什么

二、三重积分的核心方法

三、直角坐标法

1. 基本形式

2. 适用情形

四、柱面坐标法

1. 柱面坐标变换

2. 适用情形

3. 常见柱面坐标区域

圆柱体

圆锥体

旋转抛物面

五、球面坐标法

1. 球面坐标变换

2. 适用情形

3. 常见球面坐标曲面

球面

上半球

下半球

圆锥面

六、三重积分的三项解题法

1. 盯住目标：先看要算什么

问题一：被积函数是什么？

问题二：区域 $Ω$ 是什么形状？

问题三：有没有旋转对称性？

问题四：有没有奇偶对称性？

2. 检索思路：根据区域选方法

方法一：直角坐标

方法二：柱面坐标

方法三：球面坐标

方法四：利用对称性

七、结合图片真题归纳典型题型

题型一：球体、半球、卦限球的对称性

盯住目标

检索思路

细节处理

题型二：圆锥与球面围成区域

盯住目标

检索思路一：柱面坐标

检索思路二：球面坐标

细节处理

题型三：平面曲线绕 $z$ 轴旋转形成旋转体

盯住目标

检索思路

细节处理

题型四：线段绕 $z$ 轴旋转形成圆台或圆锥面

盯住目标

检索思路

细节处理

题型五：球体内密度与距离平方有关，求质心

盯住目标

检索思路

细节处理

题型六：球体内积分与二重积分比较

盯住目标

检索思路

细节处理

题型七：单位球内积分

盯住目标

检索思路一：对称性

检索思路二：直接球坐标

细节处理

题型八：椭球与圆锥之间的体积

盯住目标

检索思路

细节处理

题型九：形心坐标

盯住目标

检索思路

细节处理

题型十：四面体上的三重积分

盯住目标

检索思路一：直角坐标硬算

检索思路二：形心法

细节处理

八、三重积分常用区域模板

1. 球体

2. 上半球

3. 第一卦限球